Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CB=CD，AC與BD相交于F，CF=2，FA=4．
（1）求證：△BCF∽△ACB．
（2）求BC的長．
（3）延長AB至E，使BE=BO，連接EC，試判斷EC與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，∠D=∠CBD，∠A=∠D，通過等量代換推出∠A=∠CBD，即可推出結論，（2）由（1）所推出的結論，推出，結合已知條件，即可推出BC的長度，（3）連接OC，根據垂徑定理，即可推出OC⊥BD，然后通過求證，推出BF∥EC，即得，OC⊥EC，即可推出結論．
解答：（1）證明：∵CB=CD，
∴∠D=∠CBD，
∵∠A=∠D，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠ACB=∠BCF，
∴△BCF∽△ACB．

（2）解：∵△BCF∽△ACB，
∴，
又∵CF=2，FA=4，
∴，
∴BC₁=2或BC₂=（舍去），
∴BC=2，

（3）解：EC與⊙O相切．
證明：連接OC，
∵CB=CD，
∴，
∴OC⊥BD，
又∵BE=BO，AB是⊙O的直徑，
∴OB=OA=BE，
∴，
∵CF=2，FA=4，
∴，
∴，
∴BF∥EC，
∴OC⊥EC，
故EC與⊙O相切．
點評：本題主要考查圓周角定理、切線的性質、相似三角形的判定與性質、垂徑定理等知識點，關鍵在于（1）運用圓周角定理推出∠A=∠CBD，（2）熟練運用相似三角形的性質推出對應邊成比例的比例式，（3）根據垂徑定理，推出OC⊥BD，求證BF∥EC．