Question

如圖，已知△ABC的周長為a，連接△ABC三邊中點構成第二個三角形，再順次連接第二個三角形各邊中點構成第三個三角形，依此類推．
（1）求第3個三角形的周長；
（2）求第n個三角形的周長；
（3）求第2008個三角形的周長與第2007個三角形周長的比．

Answer 1

分析：（1）連接△ABC三邊中點構成第二個三角形為A₁B₁C₁，利用它的周長是△ABC的周長的

1

2

，求證△A₁B₁C₁∽△ABC，
利用相似三角形周長比等于相似比推出

△A1B1C1

△ABC

=

1

2

，然后得出則第三個三角形的周長．
（2）由（1）方法依此類推，同理可推出第n個三角形的周長．
（3）將n=2008和n=2007分別代入

a

2n-1

，然后相比即可得出答案．

解答：解：（1）由△ABC的周長為a，
連接△ABC三邊中點構成第二個三角形為A₁B₁C₁，
它的周長是△ABC的周長的

1

2

，
由△A₁B₁C₁∽△ABC得

△A1B1C1

△ABC

=

1

2

，
則第三個三角形的周長是由A₁B₁C₁的

1

2

，
即為△ABC的周長

1

4

，
所以第3個三角形的周長為

1

4

a；

（2）由（1）知．則第三個三角形它的周長是△ABC的周長的

1

4

，
依此類推，第n個三角形的周長為

a

2n-1

；

（3）第2008個三角形的周長為

a

22008-1

=

a

22007

，
第2007個三角形周長的為

a

22007-1

=

a

22006

，
則二者之比為

1

2

．
答：（1）第3個三角形的周長為

1

4

a；
（2）第n個三角形的周長為

a

2n-1

；
（3）第2008個三角形的周長與第2007個三角形周長的比為

1

2

．

點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質和三角形中位線定理的理解和掌握，此題關鍵是利用三角形中位線定理先求出第2個三角形與原三角形的相似比，然后求得第3個三角形與原三角形周長之比，依此類推，即可推出第n個三角形的周長為

a

2n-1

．
這是此題的突破點．推出此式，下面的問題迎刃而解了．