Question

如圖，有一塊半徑為5cm的半圓形鋼板，計劃截成等腰梯形ABCD的形狀，他的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上．
（1）若等腰梯形ABCD的高為4cm時，求梯形的上底DC的長；
（2）寫出這個等腰梯形周長y（cm）和腰長x（cm）間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）若腰長x（cm）限定為2≤x≤6時，分別求出等腰梯形ABCD周長的最大、最小值．

Answer 1

解：（1）過點D作DE⊥AB，CF⊥AB，連接OD，
∴ED=4cm，OD=5cm，
∴OE==3cm，
同理可求OF=3cm，
∴EF=6cm，
∵四邊形DEFC為矩形，
∴DC=EF=6cm；

（2）如圖，作DE⊥AB于E，連接BD．
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB與Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
∴Rt△ADB∽Rt△AED，
∴，即 ．
又AD=x，AB=10，
∴AE=cm，
∴CD=AB-2AE=10-2×=（10-）cm，
∴y=AB+BC+CD+AD=10+x+10-+x=-+2x+20，
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，＞0，10-＞0，
解得：0＜x＜5；

（3）∵y=-+2x+20=-（x-5）²+25，
又∵2≤x≤6，
∴當x=5時，y有最大值25cm；
當x=2時，y有最小值23.2cm．
分析：（1）過點D作DE⊥AB，CF⊥AB，連接OD，由題意可知四邊形DEFC為矩形，利用勾股定理求出OE和OF的值，即EF的值，進而DC可求出；
（2）連接BD，根據相似關系求出AE，而CD=AB-2AE，從而求出梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數解析式，根據AD＞0，AE＞0，CD＞0可求出x的取值范圍；
（3）利用二次函數在給定范圍上求出最值的知識可求出函數的最大值．
點評：本題考查了二次函數模型的應用，利用二次函數的解析式求函數的最值時，通常用配方法解答；本題有一定的難度．