【題目】如圖所示，AD是△ABC的中線，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，AD=3，AB=4．
（1）求AC長度的取值范圍；
（2）求EF的長度．
【答案】（1）2＜AC＜10；（2）EF= 6.
【解析】
（1）延長AD到M，使得AD=DM，連接MC，由“SAS”可得△ABD≌△MCD，可得AB=MC=4，∠BAD=∠M，由三角形三邊關系可求解；
（2）由“SAS”可證△AEF≌△CMA，可得EF=AM=6．
（1）延長AD到M，使得AD=DM，連接MC，
∴AD=DM，AM=2AD=6，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
∵在△ABD和△MCD中，
，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB=MC=4，∠BAD=∠M，
∵AM-MC＜AC＜AM+MC
∴2AD-MC＜AC＜2AD+MC
∴2＜AC＜10
（2）∵AB=AE，
∴AE=MC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠FAC=90°，
∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，
∴∠BAC+∠EAF=180°，
∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，
∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，
即∠BAC+∠MCA=180°，
∴∠EAF=∠MCA．
∵在△AEF和△CMA中，
，
∴△AEF≌△CMA（SAS），
∴EF=AM=6
培優三好生系列答案
優化作業上海科技文獻出版社系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，拋物線
經過
，
兩點，拋物線與x軸的另一交點為A，連接AC、BC．
求拋物線的解析式及點A的坐標；
若點D是線段AC的中點，連接BD，在y軸上是否存一點E，使得
是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由；
如圖2，P為拋物線在第一象限內一動點，過P作
于Q，當PQ的長度最大時，在線段BC上找一點M使
的值最小，求的最小值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直線AB的解析式為
，拋物線
與y軸交于點A，與x軸交于點
，點P是拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m．
求拋物線的解析式；
如圖，當點P在第一象限內的拋物線上時，求
面積的最大值，并求此時點P的坐標；
過點A作直線
軸，過點P作
于點H，將
繞點A順時針旋轉，使點H的對應點
恰好落在直線AB上，同時
恰好落在坐標軸上，請直接寫出點P的坐標．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
．
求拋物線的對稱軸；
無論a為何值，拋物線都經過兩個定點，求這兩個定點的坐標；
將拋物線沿中兩個定點所在直線翻折，得到拋物線
，當的頂點到x軸的距離為1時，求拋物線的解析式．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，半圓的半徑OC=2，線段BC與CD是半圓的兩條弦，BC=CD，延長CD交直徑BA的延長線于點E，若AE=2，則弦BD的長為_________.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
中，AB=AC,
,點D，E分別在AB,BC上，
,點F為DE的延長線與AC的延長線的交點.
（1）求證：DE=EF
（2）判斷BD和CF的數量關系，并說明理由；
（3）若
,
,求BD的長。
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知二次函數
的圖象與
軸分別交于A(1,0),B(3,,0)兩點，與
軸交于點C.
（1）求此二次函數解析式；
（2）點D為拋物線的頂點，試判斷
的形狀，并說明理由.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在□ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在CD上，CF=AE，連接BF，AF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面積．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△ ABC中，∠ ABC＝90°，AB＝BC，D在邊 AC上，AE┴ BD于 E．
(1) 如圖 1，作 CF⊥ BD于 F，求證：CF－AE＝EF；
(2) 如圖 2，若 BC＝CD，求證：BD=2AE ；
(3) 如圖3，作 BM ⊥BE，且 BM＝BE，AE＝2，EN＝4，連接 CM交 BE于 N，請直接寫出△BCM的面積為______．
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