Question

已知反比例函數(shù)y=

k

4x

和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b），（a+2，b+k）兩點．
（1）求：反比例函數(shù)的解析式．
（2）如圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩函數(shù)的圖象上．求點A的坐標．
（3）利用（2）的結果，問在x軸上是否存在點P，使得△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標直接寫出來；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得到

2a-1=b 2(a+2)-1=b+k

，然后結果代數(shù)式變形可解得k=4，則可確定反比例函數(shù)解析式；
（2）把一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式組成方程組，再解方程組可確定A點坐標；
（3）先利用勾股計算出OA=

2

，過A點作AP₁⊥x軸，則△OAP₁為等腰三角形；作點O關于AP₁的對稱點P₂，則△OAP₂為等腰三角形；以O點為圓心，OA為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，則△OAP₃、△OAP₄為等腰三角形；然后利用線段長分別確定各點坐標．

解答：解：（1）把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得

2a-1=b 2(a+2)-1=b+k

，解得k=4，
所以反比例函數(shù)解析式為y=

1

x

；

（2）解方程組

y= 1 x y=2x-1

得

x=- 1 2 y=-2

或

x=1 y=1

，
∵A點在第一象限，
∴點A的坐標為（1，1）；

（3）存在．
OA=

12+12

=

2

，
滿足條件的點P坐標為（ 1，0）、（2，0）、（

2

，0）、（-

2

，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰三角形的判定與性質(zhì)；運用分類討論的思想解決問題．