Question

附加題：在公式（a+1）²=a²+2a+1中，當a分別取1，2，3…，n時，可取下列n個等式：（1+1）²=1²+2×1+1（2+1）²=2²+2×2+1（3+1）²=3²+2×3+1
…（n+1）²=n²+2n+1
（1）猜想：1+2+3+4+…+n=

 

；（用含有n的代數式表示）
（2）試證明你的猜想結果．

Answer 1

分析：列出從1到n+1的平方公式的展開式，然后令等式兩邊向加，對于等式的右邊中間項為2（1+2+3+…+n），把此項當成未知項，求解方程即可得到（1+2+3+…+n）的表達式．

解答：解：（1）猜想：1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．

（2）證明：
（1+1）²=1²+2×1+1
（2+1）²=2²+2×2+1
（3+1）²=3²+2×3+1
…（n+1）²=n²+2n+1
等式左邊的和等于右邊的和：2²+3²+4²+…n²+（n+1）²=1²+2²+3²+…n²+2（1+2+3+…+n）+n
化簡得：（n+1）²=1+2（1+2+…+n）+n則1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．

點評：本題關鍵在于從題干信息中找到1+2+…+n，要想得到此項則可讓1到n+1的平方公式等號左右兩邊的數分別相加．然后化簡即可得到1+2+…+n的表達式．