Question

閱讀理解并回答問題．
（1）觀察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
請你猜想出表示（1）中的特點的一般規律，用含x（x表示整數）的等式表示出來

1

x(x+1)

=

 

．
（2）請利用上述規律計算：（要求寫出計算過程）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

（3）請利用上述規律，解方程

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

Answer 1

分析：（1）

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…則

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．
（2）將

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

變形為

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

是解題的關鍵．
（3）根據（1）的規律原方程變形為

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

是解題的關鍵．

解答：解：（1）

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．

（2）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

（3）

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

則

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

兩邊同時乘以（x-4）（x+1），得
x+1-（x-4）=x-4
解得x=9
經檢驗x=9是原方程的解．

點評：通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題是應該具備的基本能力．本題的關鍵規律為

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．