Question

如圖，拋物線經過x軸上的兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點C（0，），⊙P的圓心P在y軸上，且經過B、C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D在拋物線上，且C、D兩點關于拋物線的對稱軸對稱，問直線BD是否經過圓心P？并說明理由；
（3）設直線BD交⊙P于另一點E，求經過點E和⊙P的切線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點C的坐標代入拋物線解析式即可求得c的值；
（2）已知D點坐標，可求直線BD的解析式，連接BP，設⊙P的半徑為r，求出r，OP的值即可．
（3）過點E作EF⊥y軸于F，可求得△OPB≌△FPE，求出點P的坐標．然后由射影定理求得PE²=PF•PN，根據此關系式求解．
解答：解：（1）∵拋物線經過點C（0，），
∴c=，
∴該拋物線的解析式為-；

（2）∵拋物線的解析式為-，
∴對稱軸為x=-=-．
又∵C（0，），C、D兩點關于拋物線的對稱軸對稱，
∴D（-，-）．
令x²+x-=0，
解得，x₁=-，x₂=，
即A（-，0）、B（，0）．
易求直線BD的解析式為：y=x-．
設⊙P的半徑為r．則在直角△OBP中，根據勾股定理知BP²=OB²+OP²，即r²=（）²+（-r）²，
解得，r=1，則OP=OC-r=-1=．
∴P（0，）．
點P的坐標滿足直線BD的解析式y=x-．即直線BD經過圓心P；

（3）過點E作EF⊥y軸于F，得△OPB≌△FPE，則E（-，-1）．
設經過E點⊙P的切線l交y軸于點N．
則∠PEN=90°，EF⊥PN，
∴PE²=PF•PN（射影定理），
∴PN=2，N（0，-2.5），（11分）
∴切線l為：y=-x-．
點評：本題考查的是二次函數的綜合應用．難度較大．解題時，要數形結合，以防將點D的坐標誤寫為（，-）．