Question

【題目】任意寫一個個位數字不為零的四位正整數A，將該正整數A的各位數字順序顛倒過來，得到四位正整數B，則稱A和B為一對四位回文數．例如A=2016，B=6102，則A和B就是一對四位回文數，現將A的回文數B從左往右，依次順取三個數字組成一個新數，最后不足三個數字時，將開頭的一個數字或兩個數字順次接到末尾，在組成三位新數時，如遇最高位數字為零，則去掉最高位數字，由剩下的兩個或一個數字組成新數，將得到的所有新數求和，把這個和稱為A的回文數B作三位數的和．例如將6102依次順取三個數字組成的新數分別為：610，102，26，261，它們的和為：610+102+26+261=999，把999稱為2016的回文數作三位數的和．

（1）請直接寫出一對四位回文數：猜想一個四位正整數的回文數作三位數的和能否被111整除？并說明理由；

（2）已知一個四位正整數（千位數字為1，百位數字為x且0≤x≤9，十位數字為1，個位數字為y且0≤y≤9）的回文數作三位數的和能被27整除，請求出x與y的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）例如A=1234和B=4321是一對四位回文數，理由見解析；

（2）x+y=7或x+y=16．

【解析】試題分析：（1）根據回文數的概念解答即可；

（2）根據整式的混合運算法則解答即可．

試題解析：(1)一個四位正整數和回文數作三位數的和能否被111整除。

例如A=1234和B=4321是一對四位回文數，

將4321依次順取三個數字組成的新數分別為：432，321，214，143，它們的和為432+321+214+143=1110，

1110能被111整除；

(2)正整數1x1y的回文數是y1x1，

則回文數作三位數的和為：100y+10+x+100+10x+1+100x+10+y+100+10y+1=100x+100y+222=111(x+y+2)，

由題意得，x+y+2=27，

則x+y=25.