Question

已知；在Rt△ABC中，點O是斜邊AB的中點，CD⊥AB于D點，DE⊥OC于E點，如果AD、DB和CD都是有理數(shù)，那么下列四句話正確的是（　　）
甲：線段OD的長是有理數(shù)．乙：線段OE的長是有理數(shù)．
丙：線段DE的長是有理數(shù)．丁：圖中所有的線段的長都是有理數(shù)．

• A、只有甲、乙是正確的
• B、只有甲、乙、丙是正確的
• C、只有甲、丙是正確的
• D、甲、乙、丙、丁都是正確的

Answer 1

分析：由于∠ACB=90°，AB=AD+BD，AD、DB和CD都是有理數(shù)，OC是中線，那么AB是有理數(shù)，且OA=OB=OC=

1

2

AB，
于是OA、OB、OC是有理數(shù)，根據(jù)圖可知OD=OA-AD，那么OD是有理數(shù)；又在△CDO中，∠CDO=90，DE⊥OC，
于是△OED∽△ODC，利用相似三角形的性質(zhì)可得OE：OD=OD：OC，DE：OD=CD：OC，即OE=

OD2

OC

，DE=

OD•CD

OC

，從而可知OE、DE是有理數(shù)．

解答：解：∵AD、DB和CD都是有理數(shù)，OC是中線，
又∠ACB=90°，AB=AD+BD，
∴AB是有理數(shù)，OA=OB=OC=

1

2

AB，
故OA、OB、OC是有理數(shù)，
∵OD=OA-AD，
∴OD是有理數(shù)，
在△CDO中，
∵∠CDO=90°，DE⊥OC，
∴△OED∽△ODC，
∴OE：OD=OD：OC，DE：OD=CD：OC，
∴OE=

OD2

OC

，DE=

OD•CD

OC

，
∵OD、OC、CD是有理數(shù)，
∴OE、DE是有理數(shù)．
故選B．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、有理數(shù)的加減乘除運算、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．注意幾個有理數(shù)的加減乘除的結(jié)果還是有理數(shù)．