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如圖,在平面直角坐標系中,直線AB:y=-
12
x-1與x軸交于點A,與y軸交于精英家教網點B.點C為AB延長線上一點且BC=AB,拋物線y=ax2+bx-3過點A、點C.
(1)求點A、B、C的坐標;
(2)求拋物線的解析式及頂點坐標;
(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點M,將△ABO繞點M旋轉,使得點A的對應點落在拋物線上,試求出A的對應點的坐標;(直接寫出結果)
(4)△ABO繞平面內的某一點旋轉180°后,是否存在A、B的對應點同時落在拋物線上?若存在,求出對應點A′、B′和旋轉中心的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據直線AB的解析式,可確定A、B的坐標,由于BC=AB,即B是AC的中點,即可求得點C的坐標.
(2)將A、C的坐標代入拋物線的解析式中,通過聯立方程組即可求得待定系數的值.
(3)若點A的對應點落在拋物線上,那么這些點到M的距離都等于MA的長,可設出點A對應點的坐標,然后根據坐標系中兩點間的距離公式列方程求解.(此方程是個高次方程,可用換元法求解)
(4)假設存在符合條件的旋轉中心,由于旋轉的度數為180°,那么旋轉后A′B′∥AB,可設出旋轉中線的坐標,然后表示出A′、B′的坐標,由于A′、B′都在拋物線的圖象上,可將它們代入拋物線的解析式中,即可求得A′、B′以及旋轉中心的坐標.
解答:解:(1)∵直線AB:y=-
1
2
x-1,當x=0時,y=1;當y=0時,x=-2;
∴A(-2,0),B(0,-1),
又∵AB=BC,即B是AC的中點,
∴C(2,-2).(3分)

(2)∵y=ax2+bx-3過A(-2,0)、C(2,-2)
4a-2b-3=0
4a+2b-3=-2
(5分)
解得:a=
1
2
,b=-
1
2

∴y=
1
2
x2-
1
2
x-3.(7分),
頂點坐標(
1
2
,-
25
8

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(3)由(2)知,拋物線的對稱軸為x=
1
2
,則M(
1
2
,0);
設點A的對應點的坐標為(x,
1
2
x2-
1
2
x-3),根據旋轉的性質,有
(x-
1
2
2+(
1
2
x2-
1
2
x-3)2=(-2-
1
2
2
即(x-
1
2
2+[
1
2
(x-
1
2
2-
25
8
]2=
25
4

設(x-
1
2
2=m,則有:
m+(
1
2
m-
25
8
2=
25
4

解得m=
9
4
,m=
25
4

將m的值代入(x-
1
2
2=m中,可求得:
A1(-2,0)(舍去)、A2(-1,-2)、A3(2,-2)、A4(3,0).(11分)

(4)旋轉后,A′B′∥AB,
設O′(a,b),△AOB≌△A′O′B′,則A′(a+2,b),B′(a,b+1),代入
y=
1
2
x2-
1
2
x-3中,
解得:a=-1,b=-3.
則A′(1,-3),B′(-1,-2)旋轉中心(-
1
2
,-
3
2
).(14分)
點評:此題主要考查了二次函數解析式的確定以及圖形的旋轉變化,熟練掌握圖形旋轉的性質是解決此題的關鍵.
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精英家教網如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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(2012•渝北區一模)如圖,在平面直角坐標xoy中,以坐標原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(包括邊界)的所有整數點(橫、縱坐標均為整數)中任意選取一個點,其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29

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5
5

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k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數y=
k
x
的解析式為(  )

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(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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