Question

已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0）．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)解方程x²-10x+16=0得到二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再結(jié)合A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）用m表述出AE、BE的長(zhǎng)，長(zhǎng)出△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性質(zhì)得到比例式=，求出EF的表達(dá)式，利用sin∠FEG=sin∠CAB=得到=，求出FG的表達(dá)式，再根據(jù)S=S_△BCE-S_△BFE
求S與m之間的函數(shù)關(guān)系，m的值不超過(guò)AB的長(zhǎng)．
（3）將S=-m²+4配方為S=-（m-4）²+8，求出S的最大值，進(jìn)而判斷出此時(shí)△BCE的形狀．
解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8．
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8），
∵點(diǎn)C（0，8）在二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象上，
∴c=8．
將A（-6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式y(tǒng)=ax²+bx+8，得
，
∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²-x+8．
（2）∵AB=8，OC=8，依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴=．
即=．
∴EF=．
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=．
∴=．
∴FG=•=8-m．
∴S=S_△BCE-S_△BFE
=（8-m）×8-（8-m）（8-m）
=（8-m）（8-8+m）
=（8-m）m
=-m²+4m．
自變量m的取值范圍是0＜m＜8．
（3）存在．
理由如下：
∵S=-m²+4m=-（m-4）²+8，且-＜0，
∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S_最大值=8．
∵m=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0）．
∴△BCE為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)和方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)、配方法求函數(shù)最大值等知識(shí)，是一道好題．