Question

如圖，等腰直角三角形ABD，點C是直角邊AD上的動點，連接CB．現在將點C繞點A逆時針方向旋轉90°得點E，再將點C繞點B順時針方向旋轉90°得點F．如果AD=BD=

2

，設△AED，△BFD，△ABC的面積分別為S₁，S₂，S₃，那么S₁+S₂-S₃=

 

．

Answer 1

分析：作CM⊥AB，DN⊥BF垂足分別為M，N，由△ABD為等腰直角三角形，已知AD=BD=

2

，由勾股定理，得AB=2，設AC=x，則CM=

2

2

x，由此可分別表示S_△AED和S_△ABC，利用S_△BFD=

1

2

×BF×DN，根據∠NDB+∠DBN=90°，∠DBN+∠CBD=90，可證∠NDB=∠CBD，可證△BDN∽△CBD，利用相似比將BF×DN=DN×BC進行轉化．

解答：解：作CM⊥AB，DN⊥BF垂足分別為M，N，
由旋轉的性質可知AC=AE，BC=BF，
設AC=x，則CM=

2

2

x，
又AD=BD=

2

，
∴AB=2，
那么S_△AED=

1

2

×AE×AD=

2

2

x，S_△ABC=

1

2

×AB×CM=

2

2

x，
而△BDN∽△CBD，那么

DN

BD

=

BD

BC

，那么DN×BC=BD²=2，
∴S_△BFD=

1

2

×BF×DN=

1

2

×DN×BC=1，
∴S₁+S₂-S₃=S_△AED+S_△BFD-S_△ABC=

2

2

x+1-

2

2

x=1．
故答案為：1．

點評：本題考查了旋轉的性質，三角形面積的表示方法，相似三角形的判定與性質的運用．旋轉前后對應角相等，對應邊相等，旋轉角為對應點與旋轉中心連線的夾角．