Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=mx2﹣6mx+5m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C， = ．

（1）求m的值；
（2）如圖2，連接BC，點P為點B右側的拋物線上一點，連接PA并延長交y軸于點D，過點P作PF⊥x軸于F，交線段CB的延長線于點E，連接DE，求證：DE∥AB；

（3）在（2）的條件下，點G在線段PE上，連接DG，若EG=2PG，∠DPE=2∠GDE時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對于拋物線y=mx2﹣6mx+5m，

令y=0，得mx2﹣6mx+5m=0，解得x=1或5，

∴A（1，0），B（5，0），

∴AB=4，

∵ = ，

∴OC=5，

∴5m=5，

∴m=1

（2）

解：如圖2中，設P（t，t2﹣6t+5）．

∵OC=OB=5，∠AOB=90°，

∴∠OCB=∠OBC=∠EBF=45°，

∵PE⊥AB于F，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=EF=t﹣5，

∴點E坐標（t，5﹣t），

∵A（1，0），P（t，t2﹣6t+5），

設直線AP的解析式為y=kx+b，則有 ，

解得 ，

∴D（0，5﹣t），

∴D、E兩點縱坐標相同，

∴DE∥AB

（3）

解：如圖3中，在DE上截取一點M，使得DM=MG．設P（t，t2﹣6t+5）．則PE=t2﹣5t．

∵EG=2PG，

∴GE= （t2﹣5t），

∵MD=MG，設DM=MG=a，

∴∠MDG=∠MGD，

∴∠GME=2∠MDG，

∵∠DPE=2∠GDE，

∴∠DPE=∠GME，

∴tan∠DPE=tan∠GME，

∴ = ，

在Rt△MGE中，a2=（t﹣a）2+[ （t2﹣5t）]2，

∴a= t3﹣ t2+ t，

∴EM=t﹣a=﹣ t3+ t2﹣ t，

∴ = ，

整理得到16t2﹣160t+391=0，

解得t= 或 （舍棄），

∴點P坐標（ ， ）

【解析】（1）先求出A、B兩點坐標，再根據條件求出點C坐標，即可解決問題．（2）如圖1中，設P（t，t2﹣6t+5），想辦法求出D、E兩點坐標（用t表示），只要縱坐標相同即可證明．（3）如圖3中，在DE上截取一點M，使得DM=MG．設P（t，t2﹣6t+5）．則PE=t2﹣5t，設DM=MG=a，在Rt△MGE中，a2=（t﹣a）2+[ （t2﹣5t）]2 ， 求出a，再根據tan∠DPE=tan∠GME，得 = ，列出方程即可解決問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．