Question

（2012•衡水一模）（1）已知：如圖1，△ABC中，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直線AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q．判斷線段EP、FQ的數量關系，并證明；
（2）如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB、CD為一邊向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，線段AD的垂直平分線交線段AD于點M，交BC于點N，若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q．（1）中結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的邊角關系可證△FQA≌△ANC，則FQ=AN；同樣可證△EPA≌△ANB，則EP=AN．從而得出EP=FQ；
（2）過D作PN的平行線分別交FQ、BC于點K、I，由AAS可證△FKD≌△DIC，則QK=DM，FQ=DM+MN，同理可得，EP=AM+MN，再由MN為AD中垂線，得出AM=MD，從而證出EP=FQ．
解答：解：（1）EP、FQ的數量關系是相等．
證明：在△FQA與△ANC中，∠F=90°-∠FAQ=∠CAN，∠FQA=∠ANC=90°，AF=AC，
∴△FQA≌△ANC，
∴FQ=AN；
同理△EPA≌△ANB，
∴EP=AN，
∴EP=FQ；

（2）答：（1）中的結論依然成立．理由如下：
過D作PN的平行線分別交FQ、BC于點K、I．
在△FKD與△DIC中，∠F=90°-∠FDK=∠CDI，∠FKD=∠DIC=90°，DF=DC，
∴△FKD≌△DIC，
∴FK=DI，
∴FQ=FK+KQ=DI+DM=DM+MN；
同理可得，EP=AM+MN，
又∵MN為AD中垂線，
∴AM=MD，
∴EP=AM+MN=DM+MN=FQ．
點評：本題綜合考查了正方形的性質，全等三角形的判定等知識，需要學會分割線段來證明線段相等．難度較大．