Question

如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（-4，0）、（0，4），⊙C的圓心坐標為C（2，0），半徑為2．若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最大值是

2

2

+8

．

Answer 1

分析：由于OA的長為定值，若△ABE的面積最大，則BE的長最長，此時AD與⊙相切且位于x軸的下方；可連接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的長，即可得到△ADC的面積；易證得△AEO∽△ACD，可以求出OE的長，進而可得出△AOB和△AOE的面積和，由此得解．

解答：解：若△ABE的面積最大，則AD與⊙C相切，連接CD，則CD⊥AD；
∴△AEO∽△ACD
∴

AO

AD

=

OE

DC

∵A（-4，0）、B（0，4）、C（2，0），
∴AC=6，AO=4，CD=2，
∴AD=4

2

，
∴

4

4 2

=

OE

2

，
∴OE=

2

，
∴△ABE的最大面積為：

1

2

×4×

2

+

1

2

×4×4=2

2

+8，
故答案為：2

2

+8

點評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，坐標與圖形的性質(zhì)，三角形的面積公式的運用．