Question

已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）當直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）證明見解析（2）解析:
（1）證明：連接OE，則OB=OE．………………1分
∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠C=60°.
∴△OBE是等邊三角形.
∴∠OEB=∠C =60°. ∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°．
∴∠OEF=∠EFC=90°．
∴EF是⊙O的切線．……………………4分
（2）連接DF, 
∵DF是⊙O的切線，  ∴∠ADF=90°．
設⊙O的半徑為r，則BE=r，EC=，AD=．
在Rt△ADF中，∵∠A=60°，   ∴AF=2AD=．
∴FC=．
在Rt△CEF中 ∵∠C=60°， ∴EC=2FC  
∴=2（）．
解得．∴⊙O的半徑是．…………………………8分
注：其他解法對應給分。
（1）連接OE，利用等邊三角形的性質求出OE∥AC，從而求得∠OEF=90°，得出結論
（2）連接DF，利用切線的性質直角三角形的性質求⊙O的半徑