Question

如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作圓O，與斜邊交于點D，E為BC邊上的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，AE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形？

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DE是⊙O的切線，必須證ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要證AOED是平行四邊形，則DE∥AB，D為AC中點，又BD⊥AC，所以△ABC為等腰直角三角形，所以∠CAB=45°．
解答：（1）證明：連接OD，BD．
∵D是圓上一點
∴∠ADB=90°，∠BDC=90°
則△BDC是Rt△，且已知E為BC中點，
∴∠EDB=∠EBD．
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接OD，BD，AE，OE，
∵∠EDO=∠ABC=90°，
若要AOED是平行四邊形，則DE∥AB，D為AC中點，
又∵BD⊥AC，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
所以當∠CAB為45°時，四邊形AOED是平行四邊形．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．