Question

已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．
（1）求證：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在圖①的基礎上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；
（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：△PBD∽△AMN．

Answer 1

（1）證明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵M、N分別是BE，CD的中點，
∴BM=CN．
又∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN為等腰三角形．

（2）解：（1）中的兩個結論仍然成立．

（3）證明：在圖②中正確畫出線段PD，
由（1）同理可證△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN，△ADE和△ABC都是頂角相等的等腰三角形．
∴△PBD和△AMN都為頂角相等的等腰三角形，
∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，
∴△PBD∽△AMN．
分析：（1）因為∠BAC=∠DAE，所以∠BAE=∠CAD，又因為AB=AC，AD=AE，利用SAS可證出△BAE≌△CAD，可知BE、CD是對應邊，根據全等三角形對應邊上的中線相等，可證△AMN是等腰三角形．
（2）利用（1）中的證明方法仍然可以得出（1）中的結論，思路不變．
（3）先證出△ABM≌△ACN（SAS），可得出∠CAN=∠BAM，所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等），又∵∠BAC=∠DAE，所以∠MAN=∠DAE=∠BAC，所以△AMN，△ADE和△ABC都是頂角相等的等腰三角形，所以∠PBD=∠AMN，所以△PBD∽△AMN（兩個角對應相等，兩三角形相似）．
點評：本題利用了全等三角形的判定和性質，以及等腰三角形一個頂角相等，則底角相等的性質，還有相似三角形的判定（兩個角對應相等的兩個三角形相似）．