Question

我們知道三角形的一條中線(xiàn)能將這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，反之，若經(jīng)過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線(xiàn)將這個(gè)三角形分成面積相等兩個(gè)三角形，那么這條直線(xiàn)平分三角形的這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊．如圖1，若S_△ABD=S_△ADC，則BD=CD成立．
請(qǐng)你直接應(yīng)用上述結(jié)論解決以下問(wèn)題：

（1）已知：如圖2，AD是△ABC的中線(xiàn)，沿AD翻折△ADC，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E，DE交AB于F，若△ADE與△ADB重疊部分面積等于△ABC面積的

1

4

，問(wèn)線(xiàn)段AE與線(xiàn)段BD有什么關(guān)系？在圖中按要求畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．
（2）已知：如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的任意一點(diǎn)，連接PD，沿PD翻折△ADP，使點(diǎn)A落在E，若△PDE與△PDB重疊部分的面積等于△ABP面積的

1

4

，直接寫(xiě)出BP²的值．

Answer 1

分析：（1）如圖2，線(xiàn)段AE與BD平行且相等；利用上述結(jié)論易證得AF=BF，DF=EF；然后通過(guò)△AFE≌△BFD（SAS），來(lái)證AE=BD，且AE∥BD；
（2）如圖3，BP²=4或12．

解答：（1）解：如圖2，線(xiàn)段AE與BD平行且相等．理由如下：
∵AD是△ABC的中線(xiàn)，
∴S_△ABD=S_△ADC=

1

2

S_△ABC．
∵S_△ADF=

1

4

S_△ABC，
∴S_△ADF=S_△BDF=

1

2

S_△ABD，
∴AF=BF．
同理，DF=EF．
在△AFE與△BFD中，

BF=DF ∠EFA=∠DFB AF=BF

，
∴△AFE≌△BFD（SAS），
∴AE=BD，∠EAF=∠DBF，
∴AE∥BD．
∴線(xiàn)段AE與BD平行且相等；

（2）BP²=4或12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積、全等三角形的判定與性質(zhì)以及翻折變換．折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．