Question

如圖，△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P為BC邊上的動點，過P作PD∥AB交AC于點D，連接AP，△ABP，△APD，△CDP的面積分別記為S₁，S₂，S₃，設BP=x．
（1）試用x的代數式分別表示S₁，S₂，S₃；
（2）當P點在什么位置時，△APD的面積最大，并求最大值．

Answer 1

解：（1）過A作AE⊥BC，則AE為BC邊上的高，
由Rt△AEC中，AC=4，∠C=45°，得到此三角形為等腰直角三角形，
∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4×=4，
則△ABC中BC邊上的高為4，設△CDP中PC邊上的高為h，
則；
這樣S₁=2x，S₃=，
S₂=12-2x-=；

（2）S₂===，
所以當x=3時，y有最大值3；此時BP=3，即P是BC的中點．
分析：（1）△ABC中BC邊上的高為4，設△CDP中PC邊上的高為h，則即可求出用x的代數式分別表示S₁，S₂，S₃；
（2）對S₂=利用配方法即可求出△APD的面積最大值；
點評：本題考查了二次函數的最值及三角形的面積，難度不大，關鍵是掌握用配方法求二次函數的最值．