Question

如圖，直線y=x-3分別與y軸、x軸交于點A，B，拋物線y=-x²+2x+2與y軸交于點C，此拋物線的對稱軸分別與BC，x軸交于點P，Q．
（1）求證：AB=AC；
（2）求證：AP垂直平分線段BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件可以求出點A、B、C的坐標，從而求出OC、OA、OB的長，再求出AC的長，由勾股定理求出AB的長，從而可以得出結論．
（2）根據拋物線的解析式求出對稱軸，從而求出Q點的坐標，求出OQ、BQ的值，利用直線平行證明三角形相似從而求出P是BC的中點，根據等腰三角形的性質可以得出結論．
解答：證明：（1）∵y=x-3，
∴x=0時，y=-3，
∴A（0，-3），
當y=0時，x=4，
∴B（4，0），
∵y=-x²+2x+2，
∴x=0時，y=2，
∴C（0，2）．
∴OA=3，OB=4，OC=2．
∴AC=OA+OC=5．
AB===5．
∴AB=AC．

（2）∵拋物線y=-x²+2x+2，
∴y=-（x²-4x+4-4）+2
=-（x-2）²+4
∴對稱軸是直線x=2，
∴點Q的坐標為（2，0）．
∴OQ=BQ=2．
∵PQ∥y軸，
∴△BPQ∽△BCO．
∴===．
∴BP=PC，
∵AB=AC，∴AP⊥BC．
∴AP垂直平分線段BC．
點評：本題是一道二次函數、一次函數的綜合試題，考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質，函數圖象上點的坐標特征及勾股定理的運用．