Question

（2009•永州）如圖，在平面直角坐標系內，O為原點，點A的坐標為（-3，0），經過A、O兩點作半徑為的⊙C，交y軸的負半軸于點B．
（1）求B點的坐標；
（2）過B點作⊙C的切線交x軸于點D，求直線BD的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠AOB=90°，故AB是直徑，且AB=5在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4，則B點的坐標為（0，-4）；
（2）由于BD是⊙C的切線，CB是⊙C的半徑，故BD⊥AB，即∠ABD=90°，有∠DAB+∠ADB=90°，又因為∠BDO+∠OBD=90°，所以∠DAB=∠DBO，由于∠AOB=∠BOD=90°，故△ABO∽△BDO，=，OD===，D的坐標為（，0），把B，D兩點坐標代入一次函數的解析式便可求出k，b的值，從而求出其解析式．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，且AB=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4，
∴B點的坐標為（0，-4）；

（2）∵BD是⊙C的切線，CB是⊙C的半徑，
∴BD⊥AB，即∠ABD=90°，
∴∠DAB+∠ADB=90°
又∵∠BDO+∠OBD=90°，
∴∠DAB=∠DBO，
∵∠AOB=∠BOD=90°，
∴△ABO∽△BDO，
∴=，
∴OD===，
∴D的坐標為（，0）
設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數），
則有，∴，
∴直線BD的解析式為y=x-4．
點評：此題較復雜，把一次函數與圓的相關知識相結合，利用勾股定理及相似三角形的性質解答，是中學階段的重點內容．