Question

【題目】（1）如圖1，四邊形中，，點為邊的中點，連接并延長交的延長線于點，求證：．（表示面積）

（2）如圖2，在中，過邊的中點任意作直線，交邊于點，交的延長線于點，試比較與的面積，并說明理由．

（3）如圖3，在平面直角坐標系中，已知一次函數的圖像過點且分別于軸正半軸，軸正半軸交于點、，請問的面積是否存在最小值?若存在，求出此時一次函數關系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S△ABC＜S△EBF，理由見解析；（3）存在，y=-2x+8

【解析】

（1）運用△ADE≌△FCE得出S四邊形ABCD=S△ABF；

（2）過A作AM∥BC，交EF與D，證明△PAD≌△PCF，根據全等三角形的性質進行比較即可；

（3）由前兩問的結論可得出當點P為AB中點時，△AOB的面積最小，根據直角三角形的性質可得OP=OB=OA，設一次函數表達式為y=kx+b，再綜合點P在函數圖像上，可得方程，解出即可得到一次函數表達式.

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．
∵點E為DC邊的中點，
∴DE=CE．
∵在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四邊形ABCE+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE，
即S四邊形ABCD=S△ABF；

（2）如圖2，過A作AD∥BC，交EF與D，
∵P為AC中點，
∴PA=PC，
∵AD∥BC，
∴∠PAD=∠C
在△PAD和△PCF中，

，

∴△PAD≌△PCF（ASA），
∴S△PAD=S△PCF
∴S△PAD+S△EAD＞S△PCF
即S△PFC＜S△PAE，

則S△ABC＜S△EBF；

（3）由（1）（2）結論可知：當點P為AB中點時，△AOB的面積最小，

連接OP，當△AOB的面積最小時，點P是AB中點，

∴OP=OA=OB，

∵AB過點P（2，4），

設AB表達式為y=kx+b，將點P代入得：b=4-2k，

可得點B坐標為（0，4-2k），

則PB=，

OP==，

∴=，

解得：k=-2或2，

∵AB與x軸、y軸交于正半軸，

∴k≠2，

即k=-2，

此時b=8，

則一次函數的關系式為：y=-2x+8.