Question

已知：如圖，拋物線與x軸交于點A，點B，與直線相交于點B，點C，直線與y軸交于點E．
（1）寫出直線BC的解析式．
（2）求△ABC的面積．
（3）若點N在線段BC上以每秒1個單位長度的速度從B向C運動（不與B、C重合），1秒后，點M在射線BA上以每秒2個單位長度的速度從B向A運動．設點N運動時間為t秒，請求出t為何值時，△BOE與以B、M、N為頂點的三角形相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線，令y=0，解方程求出點A、B的坐標，然后把點B的坐標代入直線BC的解析式求出b的值，即可得解；
（2）根據點A、B的坐標求出AB的長度，再把拋物線解析式與直線BC的解析式聯立求解得到點C的坐標，然后根據三角形的面積公式列式計算即可得解；
（3）利用直線BC的解析式求出點E的坐標，然后求出OB、OE的長度，再利用勾股定理列式求出BE的長度，用t表示出BM、BN的長度，然后根據兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似分兩種情況列出比例式求解即可．
解答：解：（1）令y=0，則-x²+3=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，點A（-2，0），B（2，0），
所以，-×2+b=0，
解得b=，
所以，直線BC的解析式為y=-x+；

（2）∵點A（-2，0），B（2，0），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
聯立，
解得，（為點B坐標，舍去），
所以，點C的坐標為（-1，），
所以，△ABC的面積=×4×=；

（3）存在．
令x=0，則y=，
所以，點E的坐標為（0，），
所以，OE=，
在Rt△OBE中，BE===，
設t秒時，△BOE與以B、M、N為頂點的三角形相似，則BN=t，BM=2（t-1），
∵∠OBE=∠MBN，
∴=或=，
即=或=，
解得t=或t=，
故存在t=或t=時，△BOE與以B、M、N為頂點的三角形相似．
點評：本題是二次函數的綜合題型，主要考查了求拋物線與x軸的交點坐標，聯立連函數解析式求交點坐標，三角形的面積，相似三角形對應邊成比例的性質，（3）根據兩邊對應成比例，夾角相等判定兩三角形相似，列出比例式是解題的關鍵，注意要分兩種情況．