Question

　　如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，以線段AB為直徑作⊙C，拋物線過A、C、O三點．

(1)     求點C的坐標和拋物線的解析式；

(2)     過點B作直線與x軸交于點D，且OB²=OA·OD，求證：DB是⊙C的切線；

(3)     拋物線上是否存在一點P， 使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）A（6，0），B（0，6）             ……………………1分

連結OC,由于∠AOB=90^o，C為AB的中點，則，

所以點O在⊙C上（沒有說明不扣分）．

過C點作CE⊥OA，垂足為E，則E為OA中點,故點C的橫坐標為3．

又點C在直線y=－x+6上，故C（3，3）    ……………………2分

拋物線過點O，所以c=0,

又拋物線過點A、C，所以，解得：

所以拋物線解析式為   　 　…………………3分

（2）OA=OB=6代入OB²=OA·OD，得OD=6   　 ……………………4分

   所以OD=OB=OA，∠DBA=90^o．       　  ……………………5分

   又點B在圓上，故DB為⊙C的切線     　 ……………………6分

（通過證相似三角形得出亦可）

（3）假設存在點P滿足題意．因C為AB中點,O在圓上,故∠OCA=90^o,

要使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，

則 ∠CAP=90^o或 ∠COP=90^o,              ……………………7分

若∠CAP=90^o,則OC∥AP，因OC的方程為y=x,設AP方程為y=x+b．

又AP過點A（6，0），則b=－6,              ……………………8分

方程y=x－6與聯立解得：，，  

 故點P₁坐標為（－3，－9）                    ……………………9分

     若∠COP=90^o,則OP∥AC，同理可求得點P₂（9，－9）

      (用拋物線的對稱性求出亦可)

     故存在點P₁坐標為（－3，－9）和P₂（9，－9）滿足題意．…………10分