Question

（2012•虹口區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0）．設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）直接寫出該拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求OC的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）若∠ACB的度數(shù)不小于90°，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，結(jié)合拋物線所過(guò)的點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0）可直接得到對(duì)稱軸；
（2）把A（-3，0）和B（1，0）分別代入y=ax²+bx+c（a≠0）中可得c=-3a，則OC的長(zhǎng)為3|a|；
（3）根據(jù)當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，求出c的值，進(jìn)而根據(jù)①a＞0時(shí)，c＜0，以及②a＜0時(shí)，c＞0求出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1；

（2）把A（-3，0）和B（1，0）分別代入y=ax²+bx+c（a≠0）得：

0=9a-3b+c 0=a+b+c

，
解得：c=-3a，
∴OC=3|a|；

（3）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OB•OA=3，
∴CO=

3

，
∴c=±

3

，
①a＞0時(shí)，c＜0，
∵∠ACB不小于90°，c=-3a，
∴-

3

≤c＜0，
∵c=-3a，
∴-

3

≤-3a＜0，
∴0＜a≤

3

3

；
②a＜0時(shí)，c＞0，
∵∠ACB不小于90°，
∴0＜c≤

3

，
∵c=-3a，
∴-

3

3

≤a＜0．
綜上所述可知：0＜a≤

3

3

或-

3

3

≤a＜0．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)已知得出當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，c的值進(jìn)而得出a的取值范圍是解題關(guān)鍵．