Question

如圖①，在平面直角坐標系中，點A從點（1，0）出發以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，在運動過程中，以OA為一邊作菱形OABC，使B、C在第一象限，且∠AOC=60°，連接AC、OB；同時點M從原點O出發，以每秒

3

個單位長度的速度沿對角線OB向點B運動，若以點M為圓心，MA的長為半徑畫圓，設運動時間為t秒．
（1）當t=1時，判斷點O與⊙M的位置關系，并說明理由．
（2）當⊙M與OC邊相切時，求t的值．
（3）隨著t的變化，⊙M和菱形OABC四邊的公共點個數也在變化，請直接寫出公共點個數與t的大小之間的對應關系．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出圖形后，由M點和A點的運動速度，結合運動時間t，即可推出OM和OA的長度，然后根據菱形的性質推出HC=HA=1，HO=HB=

3

，AC⊥OB，根據OH=OM，即可推出M點與H點重合，通過比較MH和OM的長度，即可推出結果，（2）根據題意畫出圖形后，連接MC，MA，由菱形的性質，首先求證△COM≌△AOM，推出MA=MC，即⊙M過C點，若⊙M與OC相切，設切點為H點，連接MH，根據切線的性質推出OH⊥MH后，由OC與⊙M的公共點只有一個，即可推出H點與C點重合，然后，根據OM=

3

t，OA=1+t，推出OC=

3

2

t，再根據特殊角的三角函數列出方程，即可求出t，（3）①當t=

1

2

時，OM=MA=MC，所以，⊙M與菱形由三個交點，當t=2時，根據（2）所推出的結論，可求出MB的長度，繼而推出⊙MM與菱形由3個交點；②根據①的結論，當0≤t＜

1

2

時，圓與OC，OA邊由交點，當t＞2時，圓與BC、BA邊有交點；③當

1

2

＜t＜2時，圓除過A點和C點外，與菱形的各邊均又有一個交點，共6個交點．

解答：解：（1）如圖①，
∵t=1，M點的運動速度為每秒

3

個單位，A點的運動速度為每秒1個單位，
∴OM=

3

，OA=1+1=2，若⊙M與OC相切，設切點為H點，
∴OH⊥MH，
∵菱形ABCO，∠AOC=60°，
∴OA=OC=AB=BC=2，∠COH=∠AOH=∠ABO=∠CBO=30°，
∴HC=HA=1，HO=HB=

3

，AC⊥OB，
∴OH=

3

，即M與H重合，
∴HA=MH=1，
∵1＜

3

，
∴MH＜OM，
∴點O在⊙M外，


（2）如圖②，連接MC，MA，
∵菱形AOCB，
∴在△COM和△AOM中，

OC=OA ∠COM=∠AOM OM=OM

∴△COM≌△AOM（SAS），
∴MA=MC，
即⊙M過C點，
若⊙M與OC相切，設切點為H點，連接MH，
∴OH⊥MH，
∵OC與⊙M的公共點只有一個，
∴H點與C點重合，MC⊥OC，
∵M點的運動速度為每秒

3

個單位，A點的運動速度為每秒1個單位，
∴OM=

3

t，OA=1+t，
∵∠COM=30°，
∴CO=

3

2

OM=

3

2

t，
∵OA=OC，
∴

3

2

t=1+t，
∴t=2．


（3）①當t=

1

2

時，
∴OM=

3

2

，OA=

3

2

，
∵∠BOA=30°，AC垂直平分OB，
∴AH=

3

4

，OH=

3 3

4

，∠OAB=120°，
∴AM=

3

2

，
∴AM=OM，
∴∠OAM=30°，
∴∠MAB=90°，
同理∠MCB=90°，
∵△COM≌△AOM，
∴AM=CM，
∴⊙M與OC、OA相切，
∴⊙M經過菱形OABC的頂點O，C，A三點，
當t=2時，
∵OM=2

3

，OA=3，
∴OH=

3 3

2

，AH=

3

2

，
∴OB=3

3

，
∴MB=

3

，
∴HM=

3

2

，
∴AM=

3

，
∴∠OAM=90°，
同理∠OCM=90°，
∵MB=MA=MA，
∴⊙M與BC、BA相切于點C、點A，
∴⊙M經過點B、C、A三點；
∴當t=2或者t=

1

2

時，⊙M與菱形由三個交點；
②當t=0時，
∴M點和O點重合，MA=OB，
∵MA=MA，
∴⊙M經過A，C兩點，
當0＜t＜

1

2

時，
∵OM＜AM，
∴⊙M經過A，C兩點，點O在⊙M內，
當t＞2時，
則OM＞2AM，
∴BM＜AM，
∴⊙M經過A，C兩點，點B在⊙M內，
∴當0≤t＜

1

2

時，⊙M與菱形的交點又2個；
③當

1

2

＜t，
則OM＞AM，
當t＜2時，
則OM＜2AM，BM＞AM，
∵AB=OA，M在OB上運用，
∴OA＞AM，AB＞AM，且OC＞AM，BC＞AM，
∴⊙M經過A，C點且與OC，OA，OB，BD都有交點，
∴當

1

2

＜t＜2時，⊙M與菱形的交點個數為6個．

點評：本題主要考查菱形的性質、含30度角的直角三角形的性質、切線的判定與性質、點與圓的位置關系，關鍵在于根據題意正確的畫出圖形，運用數形結合的思想進行分析．