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聰明好學的小云查閱有關資料發現:用不過圓錐頂點平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面,即圖1中曲線CFD為拋物線的一部分,如圖1,圓錐體SAB的母線長為10,側面積為50π,圓錐的截面CFD交母線SB于F,交底面⊙P于C、D,AB⊥CD于O,OF∥SA且OF⊥CD,OP=4,OB=9.
(1)求底面圓的半徑AP的長及圓錐側面展開圖的圓心角的度數;
(2)當以CD所在直線為x軸,OF所在的直線為y軸建立如圖2所示的直角坐標系,求過C、F、D三點的拋物線的函數關系式.

【答案】分析:(1)根據圓錐側面積的計算方法即可求得底面圓半徑AP的長;由于圓錐側面展開圖是個扇形,且弧長等腰底面圓的周長,可據此求出側面展開圖的圓心角的度數;
(2)根據(1)得出的底面圓的半徑即可得到BO、AB的長,由于OF∥AS,易證得△OBF∽△ABS,根據相似三角形所得到的比例線段即可求得OF的長,由此可得到F點的坐標;連接AC、BC;根據圓周角定理知∠ACB=90°,在Rt△ACB中,OC⊥AB,根據射影定理即可求出OC的長,由此可得到C點的坐標;根據C、F的坐標,即可用待定系數法求出拋物線的解析式.
解答:解:(1)∵50π=π•AP•10
∴AP=5;
∵2π•5=
∴n=180°;
故底面圓的半徑長為5,側面展開圖的圓心角的度數為180°;

(2)由OF∥SA得△OFB∽△ASB,
=
=
∴OF=9,
∴F(0,9);
連接AC,BC,則∠ACB=90°;
Rt△ABC中,OC⊥AB,OA=1,OB=9;
由射影定理可得CO2=1×9,
∴CO=3,
∴C(-3,0);
設拋物線的解析式為:y=ax2+c,則有:

解得
∴拋物線的解析式為:y=-x2+9.
點評:此題主要考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的性質以及圓錐的相關計算,需要牢記的內容是圓錐的側面積計算方法:S=πRL(R為底面圓半徑,L為圓錐的母線長).
練習冊系列答案
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(1)求底面圓的半徑AP的長及圓錐側面展開圖的圓心角的度數;
(2)當以CD所在直線為x軸,OF所在的直線為y軸建立如圖2所示的直角坐標系,求過C、F、D三點的拋物線的函數關系式.
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(1)求底面圓的半徑AP的長及圓錐側面展開圖的圓心角的度數;
(2)當以CD所在直線為x軸,OF所在的直線為y軸建立如圖2所示的直角坐標系,求過C、F、D三點的拋物線的函數關系式.

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(1)求底面圓的半徑AP的長及圓錐側面展開圖的圓心角的度數;
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