Question

（2007•南寧）如圖1，在銳角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于點H，且AH=6，點D為AB邊上的任意一點，過點D作DE∥BC，交AC于點E．設△ADE的高AF為x（0＜x＜6），以DE為折線將△ADE翻折，所得的△A'DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y（點A關于DE的對稱點A'落在AH所在的直線上）．
（1）分別求出當0＜x≤3與3＜x＜6時，y與x的函數關系式；
（2）當x取何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）①當0＜x≤3時，A′在三角形ABC內部，重合部分為三角形DA′E，因此只需求三角形ADE的面積即可．本題可先通過相似三角形ADE和ABC高的相似比求出DE的長，進而求三角形ADE的面積，也可直接根據三角形面積比等于相似比的平方來求三角形ADE的面積．
②當3＜x＜6時，此時A′落在三角形ABC外部，重合部分的面積可用三角形A′DE的面積即三角形ADE的面積-三角形A′PQ的面積求得．求法同①．
（2）根據（1）得出的函數的性質及自變量的取值范圍可得出y的最大值及對應的x的值．
解答：解：（1）①當0＜x≤3時，由折疊得到的△A'ED落在△ABC內部如圖（1），重疊部分為△A'ED
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC（1分）
∴，
∴，即DE=x
又∵FA'=FA=x
∴y=DE•A′F=×x•x
∴y=x²（0＜x≤3）
②當3＜x＜6時，由折疊得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如圖（2），重疊部分為梯形EDPQ
∵FH=6-AF=6-x
A'H=A'F-FH=x-（6-x）=2x-6
又∵DE∥PQ
∴△A′PQ∽△A′DE
∴
∴，PQ=3（x-3）
∴y=（DE+PQ）×FH
[x+3（x-3）]×（6-x）
∴y=-x²+18x-27（3＜x＜6）；

（2）當0＜x≤3時，y的最大值：y₁=x²=×3²=；
當3＜x＜6時，由y=-x²+18x-27=-（x-4）²+9
可知：當x=4時，y的最大值：y₂=9；
∵y₁＜y₂，
∴當x=4時，y有最大值：y_最大=9．
點評：本題考查了圖形的翻折變換、圖形面積的求法以及二次函數的應用等知識．