Question

如圖1所示，已知y=（x＞0）圖象上一點P，PA⊥x軸于點A（a，0），點B坐標為（0，b）（b＞0），動點M是y軸正半軸上B點上方的點，動點N在射線AP上，過點B作AB的垂線，交射線AP于點D，交直線MN于點Q連接AQ，取AQ的中點為C．
（1）如圖2，連接BP，求△PAB的面積；
（2）當點Q在線段BD上時，若四邊形BQNC是菱形，面積為2，求此時P點的坐標；
（3）當點Q在射線BD上時，且a=3，b=1，若以點B，C，N，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求這個平行四邊形的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據同底等高的兩個三角形的面積相等即可求出△PAB的面積；
（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后證明△ABQ≌△ANQ，進而求出∠BAO=30°，由S_{四邊形BQNC}=2求出OA=3，于是P點坐標求出；
（3）分兩類進行討論，當點Q在線段BD上，根據題干條件求出AQ的長，進而求出四邊形的周長，當點Q在線段BD的延長線上，依然根據題干條件求出AQ的長，再進一步求出四邊形的周長．
解答：解：（1）S_△PAB=S_△PAO=xy=×6=3；

（2）如圖1，∵四邊形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中點，
∴BC=CQ=AQ，
∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，
在△ABQ和△ANQ中，
，
∴△ABQ≌△ANQ，
∴∠BAQ=∠NAQ-30°，
∴∠BAO=30°，
∵S_{四邊形BQNC}=2，
∴BQ=2，
∴AB=BQ=2，
∴OA=AB=3，
又∵P點在反比例函數y=的圖象上，
∴P點坐標為（3，2）；

（3）∵OB=1，OA=3，
∴AB=，
∵△AOB∽△DBA，
∴=，
∴BD=3，
①如圖2，當點Q在線段BD上，
∵AB⊥BD，C為AQ的中點，
∴BC=AQ，
∵四邊形BNQC是平行四邊形，
∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，
∴==，
∴BQ=CN=BD=，
∴AQ=2，
∴C_{四邊形BQNC}=2+2；
②如圖3，當點Q在射線BD的延長線上，
∵AB⊥BD，C為AQ的中點，
∴BC=CQ=AQ，
∴平行四邊形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，
∴==，
∴BQ=3BD=9，
∴AQ===2，
∴C_{四邊形BNQC}=2AQ=4．
點評：本題主要考查反比例函數綜合題的知識，此題涉及的知識有全等三角形的判定與性質、相似三角形的性質以及菱形等知識，綜合性較強，有一定的難度．