Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，EF垂直平分AC，垂足為O，連接AF、CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）點P在線段AC上，滿足2AE²=AC•AP，求證：CD∥PE．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△AOE≌△COE，進而得出EO=OF，得出四邊形AFCE是平行四邊形，即可利用菱形的判定得出答案；
（2）首先證明AE²=AO•AP，進而得出△AOE∽△AEP，可得出∠AEP=∠D，即可得出答案．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACF，
∵EF平分AC，
∴AO=OC，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE，
∴EO=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形．

（2）∵EF垂直平分AC，
∴AC=2AO，∠AOE=90°，
∵2AE²=AC•AP，
∴2AE²=2AO•AP，
∴AE²=AO•AP，
∴，
∵∠EAP=∠OAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴∠AEP=∠AOE=90°，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠AEP=∠D，
∴CD∥PE．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及菱形、矩形的判定與性質，根據已知熟練應用相似三角形的判定與性質是解題關鍵．