Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，切點為A，BC交⊙O于點D，點E是AC的中點．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑為1，BC＝4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圖中陰影部分的面積為．

【解析】

（1）連接OE、OD，根據切線的性質得到∠OAC=90°，根據三角形中位線定理得到OE∥BC，證明△AOE≌△DOE（SAS），根據全等三角形的性質、切線的判定定理證明；
（2）求出AC，AE的長，得出∠AOD=120°，根據扇形的面積公式計算即可．

（1）證明：連接OE、OD，如圖，

∵AC是⊙O的切線，

∴AB⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∵點E是AC的中點，O點為AB的中點，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠3，

∴∠1＝∠2，

在△AOE和△DOE中

,

∴△AOE≌△DOE（SAS）

∴∠ODE＝∠OAE＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD為⊙O的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵⊙O半徑為1，

∴AB＝2，

∵∠BAC＝90°，BC＝4，

∴∠C＝30°，AC＝，

∴∠B＝60°，

∴∠AOD＝2∠B＝120°，

又∵點E是AC的中點，

∴AE＝AC＝，

∴圖中陰影部分的面積＝2S△AOE﹣S扇形AOD＝2×××1﹣＝﹣．