Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，CD⊥AD．
（1）CD是⊙O的切線嗎？為什么？
（2）若AD=4，AB=9，求AC的長．
（3）若AD交⊙O于點E，連接OD交AC于點F，且，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由于AC平分∠BAD，可得∠2=∠3，而OA=OC，易知∠1=∠3，等量代換可得∠1=∠2，進而可知OC∥AD，而CD⊥AD，那么OC⊥CD，從而可證CD是⊙O的切線；
（2）連接BC，由于AB是⊙O的直徑，CD⊥AD，易得∠ACB=∠ADC=90°，而∠2=∠3，易證△ADC∽△ACB，從而有AD：AC=AC：AB，易求AC；
（3）連接OC，BC，先設DE=2x，AE=3x，則AD=5x，根據切割線定理可得CD²=DE•AD，易求CD，再根據勾股定理可求AC，再根據相似三角形的性質可得AD：AC=AC：AB，可求AB，進而可得OC=3.5x，再根據平行線分線段成比例定理的推論可得△COF∽△ADF，于是OF：DF=OC：AD，易求OF：DF．
解答：解：（1）CD是⊙O的切線．理由如下：
連接OC，如右圖，
∵AC平分∠BAD，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AD，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠2=∠3，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴4：AC=AC：9，
∴AC=6；

（3）連接OC，BC，如右圖，
設DE=2x，AE=3x，則AD=5x，
∵CD是切線，AD是割線，
∴CD²=DE•AD，
∴CD=x，
∴AC==x，
由（2）知△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴5x：x=x：AB，
∴AB=7x，
∴OC=3.5x，
由（1）知OC∥AD，
∴△COF∽△ADF，
∴OF：DF=OC：AD，
∴OF：DF=3.5x：5x=7：10．
點評：本題是圓的綜合題，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形和平行線；并證明OC∥AD，以及△ADC∽△ACB．