Question

（2013•保康縣二模）已知：在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OE⊥AC于點E，過點C作直線FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延長線于點D．
（1）求證：FD是⊙O的切線；
（2）設OC與BE相交于點G，若OG=2，求⊙O半徑的長；
（3）在（2）的條件下，當OE=3時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證FD是⊙O的切線只要證明∠OCF=90°即可；
（2）根據已知證得△OEG∽△CBG根據相似比不難求得OC的長；
（3）根據S_陰影=S_△OCD-S_扇形OBC從而求得陰影的面積．
解答：證明：（1）連接OC（如圖①），
∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE=90°．
∴∠1+∠AOE=90°．
∵∠FCA=∠AOE，
∴∠1+∠FCA=90°．
即∠OCF=90°．
∴FD是⊙O的切線．

（2）連接BC，（如圖②）
∵OE⊥AC，
∴AE=EC（垂徑定理）．
又∵AO=OB，
∴OE∥BC且．
∴∠OEG=∠GBC（兩直線平行，內錯角相等），
∠EOG=∠GCB（兩直線平行，內錯角相等），
∴△OEG∽△CBG（AA）．
∴．
∵OG=2，
∴CG=4．
∴OC=OG+GC=2+4=6．
即⊙O半徑是6．

（3）∵OE=3，由（2）知BC=2OE=6，
∵OB=OC=6，
∴△OBC是等邊三角形．
∴∠COB=60°．
∵在Rt△OCD中，CD=OC•tan60°=6，
∴S_陰影=S_△OCD-S_扇形OBC==．
點評：本題利用了等邊對等角，切線的性質及概念，三角形的中位線的判定和性質，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質，三角形和扇形的面積公式求解．