Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，點P是邊BC上的動點（點P不與點B，點C重合），過點P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點，再把△PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應點是R點，設CP的長度為x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y．

（1）求∠CQP的度數；
（2）當x取何值時，點R落在矩形ABCD的AB邊上；
（3）①求y與x之間的函數關系式；
②當x取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于PQ與BD平行，∠CQP=∠CDB，因此只需求出∠CDB的度數即可．可在直角三角形ABD中，根據AB，AD的長求出∠ABD的度數，由∠CQP=∠CDB=∠ABD即可得出∠CQP的度數；
（2）當R在AB上時，三角形PBR為直角三角形，且∠BPR=60°（可由（1）的結論得出），根據折疊的性質PR=CP=x，然后用x表示出BP的長，在直角三角形可根據∠RPB的余弦值得出關于x的方程即可求出x的值；
（3）①要分兩種情況進行討論：
一、當R在AB或矩形ABCD的內部時，重合部分是三角形PQR，那么重合部分的面積可通過求三角形CQP的面積來得出，在直角三角形CQP中，已知了∠CQP的度數，可用CP即x的值表示出CQ的長，然后根據三角形的面積計算公式可得出y，x的函數關系式；
二、當R在矩形ABCD的外部時，重合部分是個四邊形的面積，如果設RQ，RP與AB的交點分別為E、F，那么重合部分就是四邊形EFPQ，它的面積=△CQR的面積-△REF的面積．△CQR的面積在一已經得出，關鍵是求△REF的面積，首先要求出的是兩條直角邊RE，RF的表達式，可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的長，即可通過RP-PF得出RF的長；在直角三角形REF中，∠RFE=∠PFB=30°，可用其正切值表示出RE的長，然后可通過三角形的面積計算公式得出三角形REF的面積．進而得出S與x的函數關系式；
②可將矩形的面積代入①的函數式中，求出x的值，然后根據自變量的取值范圍來判定求出的x的值是否符合題意．
解答：解：（1）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC．
又AB=9，AD=3，∠C=90°，
∴CD=9，BC=．
∴tan∠CDB=，
∴∠CDB=30°．
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CDB=30°；

（2）如圖1，由軸對稱的性質可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP．
由（1）知∠CQP=30°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP．
∵CP=x，
∴PR=x，PB=-x．
在△RPB中，根據題意得：2（-x）=x，
解這個方程得：x=2；

（3）①當點R在矩形ABCD的內部或AB邊上時，
，，
∵△RPQ≌△CPQ，
∴當0＜x≤時，
當R在矩形ABCD的外部時（如圖2），，
在Rt△PFB中，
∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（-x），
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-6，
在Rt△ERF中，
∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=x-6．
∴S_△ERF=ER×FR=x²-18x+18，
∵y=S_△RPQ-S_△ERF，
∴當時，y=x²+18x-18．
綜上所述，y與x之間的函數解析式是：．
②矩形面積=，
當時，函數隨自變量的增大而增大，
所以y的最大值是，而矩形面積的的值=，
而，所以，當時，y的值不可能是矩形面積的；
當時，根據題意，得：，
解這個方程，得，
因為，
所以不合題意，舍去．
所以．
綜上所述，當時，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積等于矩形面積的．
點評：本題結合了矩形的性質以及折疊的性質考查了二次函數的綜合應用，要注意的是（3）中要根據R點的不同位置進行分類討論，不要漏解．