Question

（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于P點，CP交⊙O于D；

（1）求證：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的長．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】1）連接AD，OA

PA是切線，∴OA垂直于PA

∵CD經過圓心，∴CD是直徑

∵∠BAC=90º(直徑所對的圓周角是直角）

∵∠ADC=∠B=60º(同弧上的圓周角相等）

∴∠ACP=30º

∵∠AOD是圓心角，所以∠AOD=2∠ACP=60º

∴在直角三角形OAP中，∠P=30º

∴∠P=∠ACP

那么 AP=AC                             （5分）

2）∵AP是切線。∴∠DAP=∠ACP=30º(同弧上的圓周角和弦切角相等）

∴∠DAP=∠P

那么 AD=DP

設AD=a，那么 PC=3a

在直角三角形ACD中。由勾股定理得

AD²+AC²=CD²

即 a²+9=4a²

a²=3     a=

即PC=.                              （10分）