Question

【題目】如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E點，DE∥BC，DF∥AB．

（1）若∠BCE＝25°，請求出∠ADE的度數；

（2）已知：BF＝2BE，DF交CE于P點，連結BP，AB⊥BP．

①猜想：△CDF的邊DF與CD的數量關系，并說明理由；

②取DE的中點N，連結NP．求證：∠ENP＝3∠DPN．

Answer 1

【答案】（1）∠ADE＝50°；（2）①CD＝2DF；見解析；②見解析．

【解析】

（1）利用角平分線得出∠ACB=2∠BCE=50°，再利用兩直線平行，同位角相等即可得出結論；

（2）先判斷出四邊形BEDF是平行四邊形，進而得出DE=2DF，再利用角平分線及平行線得出DE=CD，即可得出結論；

（3）先利用倍長中線法得出NG=NP，∠EGN=∠DPN，再用直角三角形的中線得出∠EGN=∠EBN，再構造出菱形判斷出∠BEN=∠BHN，即可得出結。

（1）∵CE平分∠ACB交AB于E點，

∴∠ACB＝2∠BCE，

∵∠BCE＝25°，

∴∠ACB＝50°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠ACB＝50°；

（2）①∵DE∥BC，DF∥AB，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∴DE＝BF，DF＝BE，

∵BF＝2BE，

∴DE＝2DF，

∵CE平分∠ACB交AB于E點，

∴∠BCE＝∠ACE，

∵DE∥BC，

∴∠DEC＝∠BCE，

∴∠DEC＝∠DCE，

∴CD＝DE，

∵DE＝2DF，

∴CD＝2DF；

（3）如圖，

延長PN交AB于G，

∵DF∥AB，

∴∠EGN＝∠DPN，

∵∠ENG＝∠DNP，

∵點N是DE中點，

∴EN＝DN，

∴△ENG≌△DNP（AAS），

∴∠EGN＝∠DPN，GN＝PN，

∵AB⊥BP，

∴∠ABP＝90°，

∴BN＝GN，

∴∠EGN＝∠EBN，

∵DE＝2EN，DE＝2BE，

∴EN＝BE，

∴∠ENB＝∠EBN＝∠EGN＝∠DPN，

過點N作NH∥BE交BC于H，

∵BE∥DF，

∴NH∥DF，

∴∠PNH＝∠DPN，

∵EN∥BH，NH∥BE，

∴四邊形BENH是平行四邊形，

∵BE＝EN，

∴BENH是菱形，

∵BE是菱形對角線，

∴∠BNH＝∠BNE＝DPN，

∴∠ENP＝∠BNE+∠BNH+∠PNH＝∠DPN+∠DPN+∠DPN＝3∠DPN．