Question

如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF的兩邊相交于A、B和C、D，連接OA，此時有OA∥PE．
（1）求證：AP=AO；
（2）若tan∠OPB=

1

2

，求弦AB的長；
（3）若以圖中已標明的點（即P、A、B、C、D、O）構造四邊形，則能構成菱形的四個點為

 

，能構成等腰梯形的四個點為

 

或

 

或

 

．

Answer 1

分析：（1）由已知條件“射線PG平分∠EPF”求得∠DPO=∠BPO；然后根據平行線的性質，兩直線OA∥PE，內錯角∠DPO=∠POA；最后由等量代換知∠BPO=∠POA，從而根據等角對等邊證明AP=AO；
（2）設OH=x，則PH=2x．作輔助線OH（“過點O作OH⊥AB于點H”），根據垂徑定理知AH=HB=

1

2

AB；又由已知條件“tan∠OPB=

1

2

”求得PH=2OH；然后利用（1）的結果及勾股定理列出關于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）根據菱形的性質、等腰梯形的判定定理填空．

解答：（1）證明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO=∠BPO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO=∠POA，
∴∠BPO=∠POA，
∴PA=OA；（2分）

（2）解：過點O作OH⊥AB于點H，則AH=HB=

1

2

AB，（1分）
∵tan∠OPB=

OH

PH

=

1

2

，∴PH=2OH，（1分）
設OH=x，則PH=2x，
由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH-PA=2x-10，
∵AH²+OH²=OA²，∴（2x-10）²+x²=10²，（1分）
解得x₁=0（不合題意，舍去），x₂=8，
∴AH=6，∴AB=2AH=12；（1分）

（3）解：P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B．（2分）
（寫對1個、2個、3個得（1分），寫對4個得2分）

點評：本題綜合考查了垂徑定理、勾股定理、菱形的性質、等腰梯形的判定定理及銳角三角函數的定義．解此類題目要注意將圓的問題轉化成三角形的問題再進行計算．