Question

（2009•衡陽）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60度．

（1）求⊙O的直徑；
（2）若D是AB延長線上一點，連接CD，當BD長為多少時，CD與⊙O相切；
（3）若動點E以2cm/s的速度從A點出發沿著AB方向運動，同時動點F以1cm/s的速度從B點出發沿BC方向運動，設運動時間為t（s）（0＜t＜2），連接EF，當t為何值時，△BEF為直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件知：∠BAC=30°，已知AB的長，根據直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AB的長，即⊙O的直徑；
（2）根據切線的性質知：OC⊥CD，根據OC的長和∠COD的度數可將OD的長求出，進而可將BD的長求出；
（3）應分兩種情況進行討論，當EF⊥BC時，△BEF為直角三角形，根據△BEF∽△BAC，可將時間t求出；
當EF⊥BA時，△BEF為直角三角形，根據△BEF∽△BCA，可將時間t求出．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°；
∴AB=2BC=4cm，即⊙O的直徑為4cm．

（2）如圖（1）CD切⊙O于點C，連接OC，則OC=OB=×AB=2cm．
∴CD⊥CO；∴∠OCD=90°；
∵∠BAC=30°，
∴∠COD=2∠BAC=60°；
∴∠D=180°-∠COD-∠OCD=30°；
∴OD=2OC=4cm；
∴BD=OD-OB=4-2=2（cm）；
∴當BD長為2cm，CD與⊙O相切．

（3）根據題意得：
BE=（4-2t）cm，BF=tcm；
如圖（2）當EF⊥BC時，△BEF為直角三角形，此時△BEF∽△BAC；
∴BE：BA=BF：BC；
即：（4-2t）：4=t：2；
解得：t=1；
如圖（3）當EF⊥BA時，△BEF為直角三角形，此時△BEF∽△BCA；
∴BE：BC=BF：BA；
即：（4-2t）：2=t：4；
解得：t=1.6；
∴當t=1s或t=1.6s時，△BEF為直角三角形．
點評：本題考查圓周角定理、切線的性質、相似三角形的性質、直角三角形的性質等知識的綜合應用能力．在求時間t時應分情況進行討論，防止漏解．