Question

已知：如圖，B、C、E三點在一條直線上，AB=AD，BC=CD．
（1）若∠B=90°，AB=6，BC=2，求∠A的值；
（2）若∠BAD+∠BCD=180°，cos∠DCE=，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，然后利用邊邊邊證明△ABC與△ADC全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAC=∠DAC，再利用銳角∠BAC的正切值求出∠BAC的度數，∠A=2∠BAC；
（2）方法一：根據四邊形的內角和與全等三角形對應角相等求出∠ABC=∠ADC=90°，延長AD交BE于點F，可以得到△ABF與△CDF相似，再根據cos∠DCE=設DC=3k，表示出CF=5k，DF=4k，BC=3k，然后根據相似三角形對應邊成比例求出的值，也就是；
方法二：作DF⊥BE，垂足為F，DG⊥AB，垂足為G，連接AC，根據四邊形的內角和與全等三角形對應角相等求出∠ABC=∠ADC=90°，然后證明△AGD與△CFD相似，再根據cos∠DCE=，設DC=5k，表示出CF=3k，DF=4k，AG=AB-4k=AD-4k，然后根據相似三角形對應邊成比例列出比例式=，代入數據進行計算即可求出AD的值，最后代入數據進行計算即可得解．
解答：（1）解：連接AC，
在△ABC與△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在Rt△ABC中，
tan∠BAC==，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=2∠BAC=60°；

（2）解法一：由（1）得，
△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC，BC=CD，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
延長AD交BE與F，
∴∠DCF=∠BAF，
∴Rt△ABF∽Rt△CDF，
∵cos∠DCE=，
∴設DC=3k，則CF=5k，DF=4k，BC=3k，
∴===2，
∴=2；

解法二：作DF⊥BE，垂足為F，作DG⊥AB，垂足為G，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
連接AC，
又∵△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四邊形BFDG是矩形，
∵∠DCF=∠BAD，
∴Rt△AGD∽Rt△CFD，
∴=，
∵cos∠DCE=，
∴設DC=5k，
則CF=3k，DF=4k，AG=AB-4k=AD-4k，
∴=，
即5（AD-4k）=3AD，
解得AD=10k，
∴===2．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理，解直角三角形的應用，是綜合題，作出輔助線構造出全等三角形以及相似三角形是解題的關鍵．