Question

將矩形OABC置于平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（m，0）（m＞0），點D（m，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點B落在坐標平面內，設點B的對應點為點E．

（1）當m=3時，點B的坐標為        ，點E的坐標為         ；

（2）隨著m的變化，試探索：點E能否恰好落在x軸上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

（3）如圖，若點E的縱坐標為－1，拋物線（a≠0且a為常數）的頂點落在△ADE的內部，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）點B的坐標為（3，4），點E的坐標為（0，1）。

（2）點E能恰好落在x軸上。理由如下：

∵四邊形OABC為矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°。

由折疊的性質可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m。

如圖1，假設點E恰好落在x軸上，

在Rt△CDE中，由勾股定理可得

，

則有。

在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²，

即，解得。

（3）如圖2，過點E作EF⊥AB于F，EF分別與AD、OC交于點G、H，過點D作DP⊥EF于點P，則EP=PH+EH=DC+EH=2，

在Rt△PDE中，由勾股定理可得

，

∴BF=DP=。

在Rt△AEF中，AF=AB−BF=m−，EF=5，AE=m，

∵AF²+EF²=AE²，即，解得m=3。

∴AB＝3，AF＝2，E（2，－1）。

∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，∴△AFG∽△ABD。

∴，即，解得FG=2。∴EG=EF－FG=3。∴點G的縱坐標為2。

∵，

∴此拋物線的頂點必在直線x＝2上。

又∵拋物線的頂點落在△ADE的內部，

∴此拋物線的頂點必在EG上。

∴－1＜10－20a＜2，解得。

∴a的取值范圍為。