Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-6，0），以點A為圓心的圓交x軸于O、B兩點，直線y=x-3交x軸于點C，交y軸于點D，過A、C、D三點作一條拋物線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷直線CD與⊙A的位置關系，并說明理由；
（3）若點M以每秒4個單位長度的速度由點B沿x軸向點C運動，點N以每秒1個單位長度的速度由點C沿直線y=x-3向點D運動．設運動時間為t（t≤4），試問t為何值時△CMN與△CDB相似；
（4）在拋物線上是否存在點P，使△APC的面積是△BCD面積的倍？若存在，請求出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線CD的解析式求出點C、D的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式解答；
（2）過圓心A作AE⊥CD于點E，利用勾股定理求出CD的長度，再根據∠DCO的正弦值求出AE的長度，與⊙A的半徑相比較，根據直線與圓的位置關系即可得出CD和⊙A的位置關系；
（3）根據圓的對稱性求出點B的坐標，并求出BC的長度，然后用t表示出CM、CN，再分①CM與CB是對應邊時，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解；②CM與CD是對應邊時，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解（注意求出的t值要在t的取值范圍內）；
（4）首先求出△BCD的面積，通過三角形的面積公式，易求得P點縱坐標的絕對值，然后分①點P在x軸下方，點P的縱坐標是負數，代入拋物線的解析式進行計算求出點P的橫坐標，從而得解，②點P在x軸上方，點P的縱坐標是正數，代入拋物線的解析式進行計算求出點P的橫坐標，從而得解．
解答：解：（1）當y=0時，x-3=0，解得x=4，
當x=0時，y=-3，
所以，點C（4，0），D（0，-3），
設過A、C、D三點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得，
所以，拋物線解析式為y=x²+x-3；

（2）如圖，過圓心A作AE⊥CD于點E，
∵C（4，0），D（0，-3），
∴CD==5，
∵A（-6，0），
∴AC=4-（-6）=10，
sin∠DCO==，
即=，
解得AE=6，
∵⊙A的圓心為（-6，0）且經過點O，
∴⊙A的半徑為6，
∴直線CD與⊙A相切；

（3）根據圓的對稱性，圓心為A（-6，0）的⊙A經過點O（0，0）與B，
∴點B的坐標為（-12，0），
∴CB=4-（-12）=4+12=16，
根據題意，CM=CB-4t=16-4t，
CN=t，
①CM與CB是對應邊時，∵△CMN∽△CBD，
∴=，
即=，
解得t=秒；
②CM與CD是對應邊時，∵△CMN∽△CDB，
∴=，
即=，
解得t=秒；
∵與都小于4，
∴t=或秒時，△CMN與△CDB相似；

（4）存在．理由如下：
∵BC=16，點D到BC的距離為3，
∴S_△BCD=×16×3=24，
設點P到AC的距離為h，∵AC=10（已求），
∴×10h=×24，
解得h=3，
①點P在x軸下方，點P的縱坐標是-3，
所以，x²+x-3=-3，
整理得，x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
所以，點P的坐標為（0，-3）或（-2，-3），
②點P在x軸上方，點P的縱坐標是3，
所以，x²+x-3=3，
整理得，x²+2x-48=0，
解得x₁=-8，x₂=6，
所以，點P的坐標為（-8，3）或（6，3），
綜上所述，存在點P（0，-3）或（-2，-3）或（-8，3）或（6，3），使△APC的面積是△BCD面積的倍．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要涉及到待定系數法求二次函數解析式，勾股定理的應用，直線與圓的位置關系的判定，以及相似三角形的對應邊成比例的性質，（3）題要注意根據對應邊的不同分兩兩種情況討論，（4）要分點P在x軸下方與上方兩種情況討論，本題難度不是很大，但運算較為復雜，希望同學們計算時要認真仔細．