Question

在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規律進行下去，第2010個正方形的面積為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，繼而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理計算出正方形的邊長；最后利用正方形的面積公式計算三個正方形的面積，從中找出規律，問題也就迎刃而解了．
解答：
解：設正方形的面積分別為S₁，S₂…S₂₀₁₀，
根據題意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根據勾股定理，得：AD=，
cot∠DAO==，
∵tan∠BAA₁==cot∠DAO，
∴BA₁=AB=，
∴CA₁=+=×，
同理，得：C₁A₂=××，
由正方形的面積公式，得：S₁=，
S₂=×，S₃=××，
由此，可得S_n=×（1+）^2n-2，
∴S₂₀₁₀=5×（）^2×2010-2，
=5×（）⁴⁰¹⁸．
故選D
點評：本題綜合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性質等知識點，另外，在解題過程中，要認真挖掘題中隱藏的規律，這樣可以降低解題的難度，提高解題效率．