Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標為（6，0），（6，8）．動點M、N分別從O、B同時出發，都以每秒1個單位的速度運動，其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP，已知動點運動了x秒．
（1）用含x的代數式表示P的坐標（直接寫出答案）；
（2）設y=S_{四邊形OMPC}，求y的最小值，并求此時x的值；
（3）是否存在x的值，使以P、A、M為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質求出C點坐標，利用待定系數法求出AC的解析式，求出CN的長度表達式即為P點橫坐標，代入解析式即可求出P點的縱坐標，從而得到P點坐標表達式；
（2）求出AM的長度表達式，根據三角形的面積公式求出△AMP的面積表達式，用△ACO的面積減去△AMP的面積表達式即為S_{四邊形OMPC}，再根據二次函數的最值求法解答；
（3）先假設以P、A、M為頂點的三角形與△AOC相似，再根據相似三角形的性質進行計算，若能求出x，則存在；否則不存在．
解答：解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標為（6，0），（6，8），
∴C點坐標為（0，8），
設AC的解析式為y=kx+b，
將A（6，0），C（0，8）代入y=kx+b得，
，
解得，
則函數解析式為y=-x+8，
∵CN=6-x，
∴y_P=-（6-x）+8=x，
則P點坐標為（6-x，x）．

（2）∵AM=AO-OM=6-x，
∴S_△AMP=×（6-x）×t=-x²+4x，
∴y=S_{四邊形OMPC}
=S_△AOC-S_△AMP
=×6×8-（-x²+4x）
=x²-4x+24
=（x-3）²+18，
當x=3時，y的最小值為18．

（3）存在．
在△ACB中，PN∥AB，
則=，
即=，
解得AP=x，
又∵AM=6-x，
則有：①△AMP∽△AOC時，=，即=，解得x=3秒；
②△APM∽△AOC時，，即=，解得x=秒．
綜上所述，當x=3秒或x=秒時以P、A、M為頂點的三角形與△AOC相似．
點評：本題考查了動點問題與相似三角形的性質，根據題意，逐步解答，充分利用前一問題的結論是解題的關鍵，同時要注意分類討論．