Question

△ABC中，∠ACB=90°，AD是角平分線，CH是高，AD、CH交于點E，DF垂直于BC，垂足為F．求證：四邊形CEFD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：根據角平分線性質求出CD=DF，證Rt△CAD≌Rt△FAD，推出∠ACE=∠AFE，求出∠B=∠ACE=∠AFE，推出EF∥BC，再推出DF∥CH，推出四邊形CEFD是平行四邊形，根據CD=DF，推出平行四邊形CEFD是菱形．
解答：證明：∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC，
AD平分∠CAB，DF⊥AB，
∴CD=DF，∠ACD=∠AFD=90°，
在Rt△CAD和Rt△FAD中
∵，
∴Rt△CAD≌Rt△FAD（HL），
∴∠ACE=∠AFE，
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=90°=∠ACB，
∴∠ACH+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACE=∠AFE，
∴EF∥BC，
即EF∥CD，
∵CH⊥AB，DF⊥AB，
∴DF∥CH，
即EF∥CD，DF∥CE，
∴四邊形CEFD是平行四邊形，
∵CD=DF，
∴平行四邊形CEFD是菱形．
點評：本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的性質和判定，角平分線性質等知識點，題目綜合性比較強，有一定的難度．