Question

如圖，一張邊長為4的等邊三角形紙片ABC，點E是邊AB上的一個動點（不與A、B重合），EF∥BC交AC于點F．以EF為折痕對折紙片，當△AEF與四邊形EBCF重疊部分的面積為

3

時，折痕EF的長度是（　　）

• A．2
• B．

  2

  3

  或

  8+ 10

  3

• C．

  2

  3

• D．2或

  10

  3

Answer 1

分析：此題應分兩種情況考慮：當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE內或BC邊上時，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積；當疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE外點A′處時，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積減去A′MN的面積，根據軸對稱的性質和相似三角形的性質進行計算．

解答：解：在等邊△ABC中，作AD⊥BC于D，交EF于H，
∴BD=DC=

1

2

BC=2．
又∵tan∠ABD=tan60°=

AD

BD

，
∴AD=2

3

；
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴

AH

AD

=

EF

BC

，

AH

2 3

=

EF

4

．
∴AH=

3

2

EF，
∴S_△AEF=

1

2

AH•EF．
S_△AEF=

1

2

•

3

2

EF²=

3

4

EF²．

①當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE內或BC邊上時，
S_△AEF=

3

4

EF²=

3

，
解得，EF=2；

②當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE外點A′處時，如圖所示，A′F交BC于M，A′E交BC于N，連接AA′交EF于H，交BC于D．
∵

AH

AD

=

EF

4

，
∴

AH

HD

=

EF

4-EF

，
又∵AH=A′H，
∴

A′H

HD

=

EF

4-EF

，
∴

A′H

A′D

=

EF

2EF-4

，
∴

S△A′EF

S△A′MN

=(

EF

2EF-4

)2，

3 4 EF2

S△A′MN

=

EF2

(2EF-4)2

，
∴S△A′MN=

3

4

(2EF-4)2．
∴S_{四邊形MFEN}=

3

4

EF²-

3

4

(2EF-4)2=

3

，
解得，EF=

10

3

；
綜上所述，EF的值是2或

10

3

．
故選D．

點評：本題考查的是翻折變換（折疊問題）．此題采用了“分類討論”的數學思想，以防漏解．