Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB邊上一點，∠BCE=15°，AE=AD．連接DE、AC交于F，連接BF．則有下列4個結論：
①△ACD≌△ACE；②△CDE為等邊三角形；③EF：BE=（）：2；④S_△ECD：S_△ECF=EC：EF．
其中正確的結論是（ ）

A．①②
B．①②④
C．③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：先證明△AED與△ABC是等腰直角三角形，再根據SAS即可證明△ACD≌△ACE，從而判斷①；
由①得出CD=CE，再證明∠DEC=60°，即可判斷②；
設EF=x，先解直角△ECF，得出CF=x，則AC=（1+）x，再由△ABC是等腰直角三角形，求出AB，從而可用含x的代數式表示BE，即可判斷③；
由于△ECD與△ECF同高，所以面積之比等于底之比，再根據②可知EC=ED，從而判斷④．
解答：解：①∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC，
又AD=AE，AC=AC，
∴△ACD≌△ACE；故①正確；
②同理∠AED=45°，
∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠DEC=60°，
∵ACD≌△ACE，
∴CD=CE，
∴△CDE為等邊三角形．故②正確；
③∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等邊三角形，
∴∠EAF=∠ADF=45°，AD=AE，
∴AF=EF=DF，AF⊥DE．
設AF=EF=DF=x，
∴AE=x，CE=2x，
∴CF=x，
∴AC=（1+）x，
∵AB=BC，
∴AB²+BC²=[（1+）x]²，
解得：AB=x，
BE=AB-AE=x，
∴EF：BE=x：x=（）：2．故③正確；
④∵S_△ECD：S_△ECF=（×ED×CF）：（×EF×CF）=ED：EF，
又∵△CDE為等邊三角形，EC=ED，
∴S_△ECD：S_△ECF=EC：EF．故④正確．
故選D．
點評：本題綜合考查直角梯形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形等知識，綜合性較強，難度中等．