Question

如圖，在等腰梯形中，AC∥OB，OA=BC．以O為原點，OB所在直線為x軸建立直角坐標系xOy，已知A（2，2），B（8，0）．
（1）直接寫出點C的坐標；
（2）設D為OB的中點，以D為圓心，OB長為直徑作⊙D，試判斷點A與⊙D的位置關系；
（3）在第一象限內確定點M，使△MOB與△AOB相似，求出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知四邊形OACB是等腰梯形，則根據A，B的坐標及等腰梯形的性質即可求得點C的坐標．
（2）連接AD，根據已知可推出四邊形ABCD是平行四邊形，過A作AE⊥OB于E，根據勾股定理即可注得AO的長，從而可判定點A在⊙D上．
（3）點A在⊙D上，OB為直徑，則可知△OAB是直角三角形，從而分情況進行分析即可．
解答：解：（1）C（6，）；

（2）連接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
∵D是圓心
∴DB=OB=4=AC
∴ACBD是平行四邊形
∴AD=CB=AO
過A作AE⊥OB于E
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4
∴AD=AO=4=OB
∴點A在⊙D上；

（3）∵點A在⊙D上，OB為直徑
∴∠OAB=90°
即△OAB是直角三角形
故符合題意的點M有以下3種情況：
①當△OM₁B與△BAO相似時（如圖），則有
∴M₁B=AO
∵CB=AO
∴M₁B=CB
∴點M₁與點C重合
∴此時點M₁的坐標為（6，2）；
②當△OM₂B與△OBA相似時，即過B點作OB的垂線交OA的延長線于M₂（如圖），
則有．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4．
∴M₂B=8．
∴此時點M₂的坐標為（8，8）．

③當△OM₃B與△BOA相似時，即過B點作OB的垂線交OC的延長線于M₃（如圖），
則有．
∴M₃B=．
∴此時點M₃的坐標為（8，）．
點評：此題主要考查學生對等腰梯形的性質，點與圓的位置關系及相似三角形的判定方法等知識點的綜合運用能力．