Question

如圖，等邊△ABC的邊長為6cm，動點P、Q分別從A、B兩點出發，沿AB、BC方向勻速運動，它們的速度都是1厘米/秒，當點P到達B點時，P、Q兩點停止運動，設P、Q兩點運動的時間為t秒，若三角形PBQ為直角三角形時，則t的值是（　　）

A．2秒

B．4秒

C．2秒或4秒

D．3秒

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：（i）當PQ⊥BC時，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時間是t秒，利用速度×時間=路程表示出AP與BQ的長，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）當QP⊥AB時，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時間是t秒，利用速度×時間=路程表示出AP與BQ的長，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值．

解答：解：分兩種情況考慮：
（i）當PQ⊥BC時，如圖所示：

由題意可得：AP=BQ=t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BQ

BP

=

1

2

，即

t

6-t

=

1

2

，
解得：t=2秒；
（ii）當QP⊥AB時，如圖所示：

由題意可得：AP=BQ=t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BP

BQ

=

1

2

，即

6-t

t

=

1

2

，
解得：t=4秒，
綜上，t的值是2秒或4秒．
故選C

點評：此題考查了等邊三角形的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，利用了分類討論及方程的思想，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵．